Практическое занятие 1.7

Линейные динамические системы. Спектральный метод

Дисциплина: Основы теории сигналов и систем
Раздел: 1 — Временное и частотное представление сигналов
Компетенция: ОПК-3.1-У1
Время: 3 часа

Цель работы

Освоить спектральный метод анализа линейных динамических систем (ЛДС): вычисление передаточных функций, АЧХ, ФЧХ, анализ реакции системы на различные входные воздействия в частотной области.

Краткие теоретические сведения

Передаточная функция ЛДС

Передаточная функция в операторной форме: \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m s^m + \ldots + b_0}{a_n s^n + \ldots + a_0}\)

Частотная характеристика

Подстановкой s = jω получаем комплексный коэффициент передачи: \(H(j\omega) = |H(j\omega)| \cdot e^{j\varphi(\omega)}\)

АЧХ: |H(jω)| — амплитудно-частотная характеристика
ФЧХ: φ(ω) = ∠H(jω) — фазо-частотная характеристика

Реакция системы (спектральный метод)

Спектр выходного сигнала: \(Y(j\omega) = H(j\omega) \cdot X(j\omega)\)

Задание

Часть 1. Анализ ФНЧ первого порядка (3 балла)

Дана система первого порядка (фильтр нижних частот): \(H(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c}, \quad \omega_c = 2\pi \cdot 100 \text{ рад/с (f}_c = 100 \text{ Гц)}\)

Требования:

Задать передаточную функцию через tf([wc], [1 wc])
Построить АЧХ через bode() — отдельно амплитуду и фазу
Вычислить и вывести частоту среза -3 дБ
Подать на вход прямоугольный импульс (длит. 0.01 с), найти реакцию через lsim()
Построить: вх. сигнал + вых. сигнал

Выходные переменные для проверки:

H_lpf — объект tf() фильтра
y_lpf — вектор реакции на прямоугольный импульс

Часть 2. Фильтрация сигнала в частотной области (4 балла)

Дан входной сигнал с двумя частотными составляющими: \(x(t) = \sin(2\pi \cdot 50 t) + 0.5 \cdot \sin(2\pi \cdot 300 t)\)

Требования:

Сгенерировать x(t) (fs=2000 Гц, T=0.1 с)
Вычислить спектр X(f) = FFT(x)
Умножить X(f) на H(jω) — реализовать спектральный метод фильтрации
Восстановить выходной сигнал: y(t) = IFFT(X(f)·H(jω))
Построить: спектры X(f) и Y(f) на одном графике, временные x(t) и y(t)
Убедиться, что составляющая 300 Гц подавлена

Выходные переменные для проверки:

Y_fft — комплексный спектр выходного сигнала
y_filtered — временной вектор выходного сигнала

Часть 3. Критерий устойчивости по полюсам (3 балла)

Даны три системы:

H1(s) = 1 / (s² + 3s + 2) — устойчивая
H2(s) = 1 / (s² - s + 2) — неустойчивая
H3(s) = 1 / (s² + 2) — на границе устойчивости

Требования:

Задать все три ПФ через tf()
Найти полюса через pole()
Построить полюса на комплексной плоскости (pzmap())
Для каждой системы написать комментарий: устойчива/не устойчива и почему

Выходные переменные для проверки:

p1, p2, p3 — векторы полюсов систем H1, H2, H3
stable1, stable2, stable3 — логические переменные (true/false)

Система оценивания

Критерий	Баллов
Часть 1: tf, bode, lsim	3
Часть 2: спектральный метод, y_filtered	4
Часть 3: полюса, устойчивость	3
Итого	10