Задание 3: Разложение в ряд Фурье. Явление Гиббса.

Раздел: 1. Временное и частотное представление сигналов
Тема: 1.4 Ряд Фурье
Тип: MATLAB Script
Срок выполнения: 2 ч СРС
Максимальный балл: 2.5

Цель работы

Реализовать разложение прямоугольного сигнала в тригонометрический ряд Фурье, исследовать сходимость при увеличении числа гармоник и наблюдать явление Гиббса.

Теоретическая справка

Ряд Фурье для прямоугольного сигнала амплитудой A и периодом T:

\[x_N(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{\substack{k=1 \\ k - \text{нечётное}}}^{N} \frac{1}{k} \sin\left(\frac{2\pi k t}{T}\right)\]

Содержит только нечётные гармоники (k = 1, 3, 5, …)
Амплитуды убывают как 1/k
При конечном N — приближение идеального прямоугольника

Явление Гиббса: вблизи скачков функции наблюдается выброс ≈ 8.9% от величины скачка. При увеличении N выбросы не уменьшаются, а лишь сужаются.

Задание

Параметры (не изменять!)

T      = 1.0 с   — период
A      = 1.0     — амплитуда
fs     = 5000 Гц — частота дискретизации
t      = [0 : 1/fs : 2T-1/fs]  — два периода
N_list = [1, 5, 15, 51, 201]   — набор N для исследования

Что нужно сделать

Шаг 1. Для каждого N из N_list вычислить синтезированный сигнал:

x_N = (4*A/pi) * sum_{k=1,3,5,...,N} (1/k)*sin(2*pi*k*t/T)

Шаг 2. Вычислить fourier_coeffs — вектор из 5 значений RMSE:

fourier_coeffs(i) = sqrt(mean((x_N - x_ideal).^2))

где x_ideal = square(2*pi/T * t) — идеальный прямоугольник.

Шаг 3. Сохранить сигнал при N=51 в переменную x_N_51.

Шаг 4. Построить 5 графиков subplot(5,1,i) — сравнение идеала и приближения.

Шаг 5 (дополнительно). Отдельный крупный план: выброс Гиббса при N=201 в окрестности t ≈ 1 с.

Файлы задания

Файл	Назначение
`task03_template.m`	Шаблон
`task03_grader.m`	Автопроверка

Ожидаемые результаты

Переменная	Ожидание
`fourier_coeffs`	Монотонно убывающий вектор `[a, b, c, d, e]`, a > b > … > e
`fourier_coeffs(1)`	≈ 0.5–0.6 (N=1, грубое приближение)
`fourier_coeffs(5)`	< 0.05 (N=201, точное приближение)
`x_N_51`	Вектор той же длины что и t
Выброс Гиббса	max(x_N) при N→∞ ≈ 1.089 (8.9% над 1.0)

Контрольные вопросы

Почему ряд Фурье прямоугольного сигнала содержит только нечётные гармоники?

Как изменится ряд Фурье, если увеличить амплитуду в 2 раза?

Можно ли устранить явление Гиббса? Каким способом?

Критерии оценки

Балл	Критерий
2.0	fourier_coeffs монотонно убывает и RMSE совпадают; x_N_51 верна
1.5	Одна из двух переменных верна
1.0	Код работает, частичные результаты
+0.5	Аннотация Гиббса выброса на графике, вывод значения 8.9%