Задание 7: Энергия и мощность сигнала. Спектральные плотности.
Раздел: 2. Периодические и дискретные сигналы
Тема: 2.1 Мощность и энергия сигналов. Нормировка спектра
Тип: MATLAB Script
Срок выполнения: 2 ч СРС
Максимальный балл: 2.5
Цель работы
Вычислить энергию и среднюю мощность двух сигналов численно и через спектр. Проверить теорему Парсеваля. Построить спектральные плотности ESD и PSD.
Теоретическая справка
Энергия сигнала (конечная энергия)
\[E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, dt \approx \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 \cdot \frac{1}{f_s}\]Сигнал имеет конечную энергию, если E < ∞ (например, импульс с затуханием).
Средняя мощность (конечная мощность)
\[P_x = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} |x(t)|^2\, dt \approx \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2\]Периодический сигнал x(t) = A₁sin + A₂sin имеет мощность: P = A₁²/2 + A₂²/2
Теорема Парсеваля
\[E_x = \int |x(t)|^2\,dt = \int |X(f)|^2\,df = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{|X[k]|^2}{f_s \cdot N}\]Энергия в временной области = Энергия в частотной области.
Спектральная плотность энергии (ESD) и мощности (PSD)
| ESD | PSD | |
|---|---|---|
| Формула | |X(f)|² / (fs·N) | |X(f)|² / (fs·N·T) |
| Применение | Сигналы с конечной энергией | Периодические/случайные |
| Ед. измерения | В²·с / Гц | В² / Гц |
Задание
Сигналы (параметры фиксированы: fs=2000, T=2.0, rng не изменять)
x_energy = exp(-3*t) .* sin(2*pi*50*t) % Затухающий синус — конечная E
x_power = 2*sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*90*t) % Сумма синусов — конечная P
Что нужно вычислить
| Переменная | Формула |
|---|---|
E_energy | sum(x_energy.^2) / fs |
P_power | sum(x_power.^2) / (fs * T) |
ESD | abs(fft(x_energy)).^2 / (fs * N) — вектор длиной N |
PSD | abs(fft(x_power)).^2 / (fs * N * T) — вектор длиной N |
Затем проверить теорему Парсеваля:
E_parseval = sum(ESD) / fs % Должна ≈ E_energy (погрешность < 5%)
Теоретическая мощность: P_theory = 2²/2 + 1²/2 = 2.5 Вт
Файлы задания
| Файл | Назначение |
|---|---|
task07_template.m | Шаблон |
task07_grader.m | Автопроверка |
Ожидаемые результаты
| Переменная | Ожидание |
|---|---|
E_energy | > 0 (зависит от затухания) |
P_power | ≈ 2.500 Вт (≈ P_theory) |
| Парсеваль | |E_parseval − E_energy| / E_energy < 0.05 |
Контрольные вопросы
- Почему затухающий синус exp(-3t)·sin() имеет конечную энергию, а чистый синус — нет?
- Что показывает площадь под кривой PSD?
- Как изменится E_energy, если уменьшить коэффициент затухания с 3 до 1?
Критерии оценки
| Балл | Критерий |
|---|---|
| 2.0 | E_energy, P_power, ESD верны, теорема Парсеваля выполнена |
| 1.5 | 2 из 3 верны |
| 1.0 | E_energy правильная |
| +0.5 | Сравнение P_power и P_theory на bargraph, вывод об их совпадении |