Практическое занятие 1.6

Пространство и метрология сигналов. Корреляционный анализ

Дисциплина: Основы теории сигналов и систем
Раздел: 1 — Временное и частотное представление сигналов
Компетенция: ОПК-3.1-У1
Время: 3 часа

Цель работы

Освоить методы корреляционного анализа сигналов: вычисление автокорреляционной (АКФ) и взаимной корреляционной функции (ВКФ), анализ взаимной спектральной плотности, применение корреляции для практических задач АСУТП.

Краткие теоретические сведения

Автокорреляционная функция (АКФ)

АКФ определяет степень зависимости сигнала от своей же копии, сдвинутой на τ:

\[R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot x(t + \tau) \, dt\]

Свойства АКФ:

R_x(0) = энергия сигнала
R_x(τ) = R_x(-τ) — чётная функция
|R_x(τ)| ≤ R_x(0) — максимум в нуле

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)

ВКФ двух сигналов x(t) и y(t):

\[R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot y(t + \tau) \, dt\]

Применение в АСУТП:

Обнаружение сигнала на фоне шума
Измерение задержки распространения сигнала в канале
Идентификация динамических систем

Взаимная спектральная плотность мощности (ВСП)

ВСП — преобразование Фурье от ВКФ:

\[S_{xy}(f) = \mathcal{F}\{R_{xy}(\tau)\}\]

В MATLAB вычисляется через cpsd().

Задание

Часть 1. Автокорреляционный анализ (4 балла)

Дан сигнал:

x(t) = A·sin(2π·f₀·t) + n(t)

где A = 2, f₀ = 50 Гц, n(t) — белый гауссов шум с заданным SNR.

Требования:

Сгенерировать сигнал x(t) длительностью T = 0.5 с, частота дискретизации fs = 1000 Гц
Добавить белый гауссов шум: SNR = 10 дБ (используйте awgn())
Вычислить АКФ двумя способами:
- через xcorr(x, 'normalized')
- вручную через ifft(|FFT(x)|²)
Построить графики: исходный зашумлённый сигнал + АКФ обоих методов
Определить период сигнала по АКФ и сравнить с истинным

Выходные переменные для проверки:

period_acf — определённый период (Гц), точность ±0.01 с
R_norm — вектор нормированной АКФ (xcorr)

Часть 2. Взаимная корреляция (4 балла)

Два сигнала с задержкой:

x(t) = прямоугольный импульс, длительность 0.1 с
y(t) = x(t - τ_d) + шум, τ_d = 0.05 с