Лабораторная работа 2.7

Импульсно-модулированные сигналы

Дисциплина: Основы теории сигналов и систем
Раздел: 2 — Периодические и дискретные сигналы
Компетенция: ПК-2.5-В1
Время: 8 часов
Ресурс: Л1.1, Л1.2, Л1.3, Э3

Цели лабораторной работы

  1. Изучить виды импульсной модуляции: PAM, PWM, PPM
  2. Исследовать спектральные характеристики импульсно-модулированных сигналов
  3. Понять связь между периодом дискретизации и спектром сигнала (теорема Котельникова)
  4. Выполнить моделирование канала передачи данных с импульсной модуляцией в MATLAB

Теоретические основы

2.1 Виды импульсной модуляции

Вид Обозначение Параметр Описание
Амплитудно-импульсная АИМ (PAM) Амплитуда Высота импульса пропорциональна амплитуде сигнала
Широтно-импульсная ШИМ (PWM) Длительность Ширина импульса пропорциональна амплитуде
Фазо-импульсная ФИМ (PPM) Положение Сдвиг импульса пропорционален амплитуде

2.2 АИМ (PAM) сигнал

При дискретизации аналогового сигнала m(t) импульсами: x_PAM(t) = m(t) · p_T(t)

где p_T(t) — периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Спектр: содержит базовый спектр M(f) и боковые полосы вокруг nf_s: X_PAM(f) = (τ / T) · ∑ M(f - n·f_s) · sinc(n·τ·f_s) (сумма от n=-∞ до ∞)

2.3 Теорема Котельникова (Найквиста-Шеннона)

条件 Условие восстановления: f_s ≥ 2 · f_max

При f_s < 2·f_max возникает алиасинг (наложение спектров) — неустранимые искажения.

2.4 ШИМ (PWM)

Ширина импульса модулируется пропорционально мгновенному значению сигнала: τ(t) = τ_0 + k · m(t)

2.5 ФИМ (PPM)

Положение импульса в периоде смещается: t_k = k·T_s + Δt · m(k·T_s)

Задание

Раздел 1: Амплитудно-импульсная модуляция (PAM) (3 ч)

Задание 1.1: Идеальная выборка (ideal sampling)

  1. Задать модулирующий сигнал: m(t) = cos(2π·5·t) + 0.5·cos(2π·12·t), fs_m=1000, T=1 с
  2. Выполнить идеальную дискретизацию при трёх значениях частоты:
    • fs1 = 50 Гц (выполнена теорема)
    • fs2 = 30 Гц (нарушена теорема — алиасинг!)
    • fs3 = 100 Гц (перекрытие)
  3. Для каждого случая: построить отсчёты, восстановить через interp1(), оценить качество восстановления (SNR)
  4. Построить спектры: исходный + три варианта дискретизации

Выходные переменные: snr_fs1, snr_fs2, snr_fs3 (в дБ)

Задание 1.2: PAM с естественной выборкой

  1. Реализовать PAM через умножение на последовательность прямоугольных импульсов
  2. Параметры: f_s = 50 Гц, τ = T_s/2 (скважность = 2)
  3. Построить: m(t), p_T(t), x_PAM(t) + их спектры
  4. Убедиться, что спектр содержит m(f) вокруг n·f_s

Выходные переменные: x_PAM, X_PAM_mag (вектор амплитуд спектра)

Раздел 2: Широтно-импульсная модуляция (ШИМ/PWM) (2 ч)

Задание 2.1: Генерация ШИМ

  1. Реализовать ШИМ через сравнение с пилообразным сигналом: 
    pwm(t) = 1, если m(t) > treугольн.(t)
pwm(t) = 0, иначе
  2. Частота несущей треугольника f_carr = 100 Гц
  3. Модулирующий сигнал: m(t) = 0.8·sin(2π·5·t) (скалирован к [-1, 1])
  4. Построить: m(t), несущий треугольник, ШИМ сигнал
  5. Восстановить m(t) через ФНЧ (срез f_c = 20 Гц)

Выходные переменные: pwm_signal, m_restored_pwm

Задание 2.2: Спектр ШИМ и КНИ

  1. Вычислить спектр ШИМ сигнала
  2. Определить коэффициент нелинейных искажений (КНИ): 
    THD = sqrt(sum(A_n²)) / A_1 * 100%    n = 2, 3, ...
  3. Построить спектрограмму ШИМ

Выходная переменная: THD_pwm (число, %)

Раздел 3: Фазо-импульсная модуляция (ФИМ/PPM) (1 ч)

Задание 3.1: Генерация ФИМ

  1. Для последовательности отсчётов m[n] = m(nT_s) вычислить временной сдвиг каждого импульса
  2. ΔT = k · m[n], где k = T_s/3 (максимальный сдвиг = треть периода)
  3. Построить ФИМ последовательность как набор тонких импульсов
  4. Сравнить PAM, ШИМ и ФИМ на одном графике

Выходная переменная: ppm_times (вектор временных позиций импульсов)

Раздел 4: Сравнительный анализ и итог (2 ч)

Задание 4.1: Моделирование канала с шумом

Сценарий АСУТП: датчик давления передаёт данные по зашумлённому каналу с использованием PAM.

  1. Сформировать PAM сигнал из 8 отсчётов синусоиды
  2. Добавить аддитивный белый шум (SNR = 20, 10, 5 дБ)
  3. Восстановить исходный сигнал на приёмной стороне:
    • Пропустить через ФНЧ Баттерворта (butter)
    • Выполнить передискретизацию в нужные моменты
  4. Оценить качество восстановления при каждом SNR

Итоговое сравнение в таблице:

SNR, дБ Ошибка восстановления RMSE
20 …
10 …
5 …

Выходные переменные: rmse_snr20, rmse_snr10, rmse_snr5

Требования к отчёту

  1. Скрипт lab2_7_student.m (заполненный шаблон) — обязателен
  2. Все графики с подписями осей и заголовками на русском
  3. Выводы по каждому разделу (минимум 3 предложения)
  4. Ответ на вопросы:
    • Почему при f_s < 2·f_max возникает алиасинг?
    • В чём преимущество ШИМ перед АИМ для управления?
    • Какая модуляция наиболее помехоустойчива — PAM, ШИМ или ФИМ?

Система оценивания

Раздел Максимум
1: PAM (1.1 корректные SNR + 1.2 спектр) 30
2: ШИМ (2.1 восстановление + 2.2 КНИ) 25
3: ФИМ (генерация + сравнение) 15
4: Моделирование канала, RMSE 20
Выводы и ответы 10
ИТОГО 100

Вспомогательные файлы

  • lab2_7_template.m — шаблон для заполнения
  • lab2_7_validator.m — автоматическая проверка
This site uses Just the Docs, a documentation theme for Jekyll.